بیش از هشتاد درصد ریاضیدانان امروزی، دارای رویکردی افلاطونی هستند و این بدآن معناست که ایشان بر این باورند که ابژه های ریاضیاتی (مثلا اعداد) مستقل از ذهن بشر موجودیت داشته و به عالم مُثُل تعلق دارند. مهمترین خصلت این جهانِ افلاطونی این است که چیزهایش (ماورای مکان و زمان) همواره مستقل از یکدیگر وجود داشته و هیچ کدام به آن دیگری تبدیل نمی گردند.
این یعنی اینکه عدد 1 مستقل از عدد 2 موجود است. دایره مستقل از مثلث وجود دارد و هیچ کدام از آن ها قرار نیست که تغییر و تحولی را از سر گذرانده و چیزی غیر از آن چیزی که هستند، گردند. ولی من در نظریه ی ریاضیات شدنی خود با این مسئله مخالفم. ریاضیات اقلیدسی که تماما بر ایده های افلاطون استوار است، ذاتی بودنی دارد و این یعنی اینکه هر آنچه که در این جهانِ ریاضیاتی هست، بودنی است و همانطور که هست خواهد بود.
من در تقابل با این جهان، جهان شدنی خود را معرفی کرده و بر این اصل پا می فشارم که کیفیت شدن می بایست که به جهان ریاضیات افزون گردد. این تقابل در کنه خود تقابل معقولات و محسوسات افلاطون و یا بعبارتی تقابل عالَم نامنا (ذوات معقول) و فنومنا (پدیدار) می باشد. من در این رویکرد تلاش دارم که این تقابل را در هم شکسته و این دو صحن و ساحت را یکی کنم. هراکلیتوس بر این باور بود که تنها قانون همه چیز تغییر است. پارمنیدس این قانون را سکون معرفی می کرد و افلاطون توانست که بین این دو تز و آنتی تز، سنتز مُثُل خود را برقرار کند. سنتزی که می گوید تغییر از آنِ جهان محسوسات (عالم عین) و ثبات و سکون از آنِ جهان معقولات (عالم ذهن) می باشد.
اما من بر این باورم که این ثنویت از اساس غلط است. مهمترین کیفیت هستندگی “شدن” است و آنچه که نمی شود گویا نیست و تنها چیزی که این نبودن شامل حال آن می گردد، با زبان ریاضیات عدد صفر است. این پروژه در بدو امر می بایست که با چالش های فلسفی پیش رو خود دست و پنجه نرم کرده و سپس شق جدید و پیشنهادی ریاضیاتِ خود را بنیانگذاری کند. جهان متعین دارای کیفیت شدنی است و یک ریاضیات شدنی قابلیت بیشتری برای توصیف آن خواهد داشت.
شاید پرسشی که به ذهن صاحبنظران خطور کند، در باب برتری این قسم از ریاضیات در تقابل با ریاضیات کلاسیک (اقلدیسی) باشد. پاسخ من اشاره به شاقول برتری است که آن نیز در حوزه ی عمل است. هندسه ی ریمانی از هندسه اقلیدسی برتر است زیرا اولی اساس مکانیک نسبیتی و دومی اساس مکانیک نیوتونی است. مکانیک نسبیتی بر مکانیک نیوتونی ارجحیت دارد و این ارجحیت از سر توانمندی بیشتر آن در توصیف مسایل است. بعبارتی مکانیک نیوتونی حالت خاصی از مکانیک نسبیتی است و آن تا زمانی صحیح است که ما بازه ی ویژه ای از دنیا را مدنظر داشته باشیم (ابعاد میانه ی جهان: ابعاد متوسط و سرعت های پایین).
ریاضیات تجربی (شدنی) در مقایسه با ریاضیات غیرتجربی (بودنی) این برتری را عایدمان خواهد ساخت که علاوه بر حل نمودن مسایل پیشین، مسایلی را که در حال حاضر لاینحل باقی مانده اند، به حل رسانیم. من شخصا بر این باورم که ریاضیات غیرتجربی (کلاسیک / بودنی)، حالت خاصی از این شق جدید ریاضیات (شدنی) است. ریاضیات شدنی بعلت ذات یکسان خود با جهان شدنی، ابزار و یا بهتر است بگوئیم چارچوب بهتری برای توصیف جهان خواهد بود. این ریاضیات، ریاضیاتی فیزیکی است که قادر است با فراهم آوردن تلفیقی مناسب از ریاضیات فیزیکی و فیزیک ریاضیاتی تصویری بجا از جهان را در قالب یک نظریه ی یک پارچه فراهم آورد.
همانطور که در بالا اشاره شد، برتری این نوع نگاه جدید صرفا در میزان موفقیت آن در راستای توصیف جهان نهفته است. این ریاضیات از صفر آغاز می شود و بدین ترتیب قادر است که شکل گیری همه چیز را از دل یک چیز توضیح دهد، چیزی که ظاهرا نیست اما برای پیدایش همه چیز کافی است. صفر محل پیدایش این نظریه است، جایی که همه چیز یا همان نهایت که می توان آن را بینهایت محدود شده نامید، از همان جا سر بر می آورد…
بعنوان مثال توپولوژی که یکی از شاخه های متاخر هندسه است، ذاتی شدنی دارد. اشکال و اجرام هندسی می توانند با سلسله حرکاتی به یکدیگر مبدل گردند. مثلا یک رینگ سه بعدی می تواند به یک فنجان تبدیل شود و بالعکس… این شاخه از هندسه ذاتی شدنی دارد و بسیار به هندسه ی فضای عینی شبیه است زیرا در فضای عینی ما شاهد آن هستیم که چیزها به یکدیگر تبدیل می گردند بدون اینکه فضا جِر بخورد.
گاهی مشاهده می شود که در بستره ی ریاضیات کلاسیک با حرکت هایی ظاهری مواجه گردیم: مثلا هنگامیکه قرار است در شاخه ی آنالیز مشتق یک تابع در نقطه ای خاص محاسبه گردد. بشکل هندسی توصیف کار از این قرار است که در ابتدا بر روی نمودار یک خط متقاطع (سکانت) ترسیم می گردد و سپس این دو نقطه ی تقاطع به هم نزدیک می گردند، جوریکه در نقطه ی اول (نقطه ی مزبور)، شیب خط سکانت با شیب خط تانژانت (مماس) برابر شده و ما بدین سان توانسته ایم که شیب خط مماس بر منحنی در نقطه ی مزبور (مشتق تابع) را محاسبه کنیم.
در این جا به نظر می رسد که ما بنوعی بر روی منحنی در حال حرکت کردنیم. نقطه ی دوم در حال نزدیک شدن به نقطه ی اول است و این عملا نوعی حرکت است. اما اگر نیک بنگریم خواهیم دید که حرکتی در کار نیست زیرا بقول زِنو بین این دو نقطه بینهایت نقطه وجود داشته و این حرکت هرگز در زمان رقم نمی خورد. پس مبتنی بر چه جوازی ما می توانیم نقطه ی دوم را با حرکتی محدود به نقطه ی اول نزدیک کنیم؟! مادامیکه نگاهی بینهایتی به پیکره ی ریاضیات داشته باشیم، این حرکت ها در بهترین حالت، حرکاتی شبحی بوده و ارتباطی با جان مسئله ندارند. اصلی که در اینجا بر آن پافشاری می کنم، حذفِ شبه مفهوم اعتقادی بینهایت بجهت زایش حرکت است.
بعبارت دیگر برای آنکه چیزی به اسم حرکت و در نتیجه ی آن شدن در کالبد ریاضیات معنا داشته باشد، مفهوم بینهایت می بایست که ازاین صحن و سرا سایه بردارد. به گمان من زِنو به درستی به این مطلب پی برده بود، مادامیکه چیزی به اسم بینهایت وجود داشته باشد، چیزی به اسم حرکت وجود نخواهد داشت. اینکه در جهان حرکتی هست یعنی اینکه بینهایتی نیست زیرا وجود بینهایت دال بر عدم حرکت است. ما چاره ای نداریم که بین یک جهان “ساکن و بینهایتی” و از طرف دیگر یک جهان “متحرک و نهایتی” یکی را برگزینیم.
مشخصا آنچه که بیشتر با حواس ما سازگاری نشان می دهد، یک جهان متحرک است و بتبع تحرک آن، چیزی به نام بینهایت به نفع حرکت کنار گذاشته خواهد شد. با در نظر گرفتن تمامی موارد فوق این نتیجه گیری کلی الزامی می نماید که برای بخشیدن کیفیت شدنی به ریاضیات می بایست که ذات حرکت را در آن ساری و جاری ساخت و برای این مهم، حذف بینهایت و جایگزین کردن اصل نهایت در عوضِ آن، حرکتی اجباری است.
من در راستای تبیین اصول کلی ریاضیات پست مدرن و تجربی خود، از راه های مختلف به نتیجه ای یکسان رسیده ام و این بازکشف چندباره می تواند شاهدی بر این مدعا قلمداد گردد که ریاضیات پست مدرن و زایش آن مقوله ای اجتناب ناپذیر می نماید. آن زمان که گودل و پس از آن کوهن به این نتیجه ی مهم نایل آمدند که رد و یا اثبات فرض پیوستار کانتور (CH) بمدد ابزار ZFC و یا NBG ممکن نخواهد بود، عملا طلایه دار جریانی شدند که احتمالا خود از آن بی خبر بودند.
مسئله ی پیوستار و فرض های کانتوری مرتبط با آن در ریاضیات کلاسیک قابل حل نمی باشند و از نگرگاه من این بدآن دلیل است که این فرض ها از جایی از بدنه ی ریاضیات کلاسیک و یا مدرن (کانتوری) بیرون آمده اند که کمترین قرابتی با آن ندارند. زمانیکه کانتور با ایده ی اعداد ترابینهایت خود (که بهتر است آن ها را اعداد ترانهایت بنامیم)، نسخه ی بینهایت بالقوه را پیچیده و آن را بالفعل ساخت عملا در حال صحبت کردن از اصل نوزاده ی نهایت (finity) بود و به خطا گمان می کرد که در حال حرف زدن در باب همان بینهایت آشنای ریاضیدانان است.
زمانی نظریه ی مجموعه های کانتوری بعنوان شاخه ای از ریاضیات پذیرفته شد که کاربردهایی برای آن در شاخه ی آنالیز بتوسط سایر ریاضیدانان یافت شد و این کاربردها عمدتا در حوزه های مرتبط با مجموعه های محدود (finite) بودند. این پذیرش دال بر پذیرش همه ی نظریه ی مجموعه ها نبوده و نخواهد بود. من بر این باورم که نظریه ی مجموعه ها کاری در حوزه ی بینهایت ها به انجام نرسانده است. عمده ی دستاوردهای این مجموعه در رابطه با مجموعه های غیربینهایتی است و ما نبایست که سودمندی این نظریه در یک حوزه ی محدود را دال بر سودمندی آن در تمامی حوزه ها قلمداد کنیم.
ایده ی بینهایت بالفعل کانتور عملا ایده ی خطرناکی بود که منتهی به نابودی مفهوم بینهایت می شد اما متاسفانه خودِ کانتور از این مسئله غافل مانده و خود نهایتا در آن دوباره فروغلتید (رجوع شود به مفهوم بهشت کانتور در نوشتارهای پیشین). من نیز با کانتور موافقم. می توان به بینهایت بشکل بالفعلی اندیشید. می توان حساب بینهایت ها راه انداخت و بین آن ها روابط کوچکتر، مساوی، بزرگتر برقرار کرد. می توان بزرگی آن ها را سنجید اما بنظر من بینهایت هایی که موضوع این تحلیل ها و محاسبات قرار می گیرند، هیچ کدام بینهایت نیستند، بلکه نهایت های بالفعل هستند. کانتور مشغول انجام حساب بر روی نهایت ها بود و به خطا گمان می کرد که مشغول بازی با بینهایت هاست!
بنظر من هم کانتور و هم رقیب سرسخت آن کرونکر در حال بیان یک موضوع مشابه بودند. کانتور بینهایت باور جلوه می کرد و کرونکر بینهایت ستیز و حال من در جایگاهی هستم که بین این دو رویکرد در ظاهر متضاد آشتی برقرار کرده و بگویم آنچه که کرونکر بر طبل آن می کوبید، همان چیزی است که کانتور به اشتباه آن را نامگذاری می کرد و آن دو نهایتا یک چیز یگانه بیشتر نیستند: نهایت.
با پذیرش اصل نهایت می توان ریاضیاتی شدنی بنیانگذاری کرد، می توان حرکت در ریاضیات را بشکل ملموسی تعریف کرد و از سر این دو اتفاق نظریه ای داشت که قضایایش همانا کشف قوانینی از مجموعه قوانین کیهان باشند. کیهانی که می شود و در عین حال کیفیت بینهایتی بر هیچ جنبه ی آن مترتب نیست و این همانا درس فیزیک برای ریاضیات است…
انقلابی در ریاضیات!
سلام بر شما
سید احمدی هستم ادمین گروه تلگرامی فلسفی تیرداد
مقاله شما را مطالعه کردم ، بسیار جذاب و لذت بخش بود .
خواستم از حضرتعالی دعوت کنم تا در قالب نشست تلگرامی از دانش شما بهره ببریم .
گروه فلسفی تیرداد هزار و یکصد عضو علاقمند دانستن و فلسفه دارد که هر شب یکی از اساتید فلسفه یا علوم دیگر با نگاهی فلسفی به ارائه دیدگاه می پردازند و پرسش و پاسخی با اعضاء دارند .
خوشحال خواهیم شد که خدمت شما باشیم
باعث افتخار است.