فرض پیوستار (یا گسستار) کانتور (۰۱۱-۰۰۳)

بر روی یک خط یک سانتی متری، چند نقطه وجود دارد؟! بر روی یک خط یک متری، چطور؟! احتمالا جواب عمده ی مخاطبین به این دو پرسش، یکی است. بینهایت! این تاحدودی عجیب بنظر می رسد که صرف نظر از طول خط، همواره جواب یکی است. حتی اگر طول یک خط یک نانومتر باشد، باز جواب بینهایت خواهد بود و این نشان می دهد که یک جای کار اشکال دارد.

خط ها می توانند در جهان های مختلف وجود داشته باشند، مثلا جهان عینی (فیزیکی) و جهان ذهنی (غیرفیزیکی). احتمالا تکلیف خط های این دو جهان با هم فرق می کند و این یعنی اینکه خط های جهان فیزیکی نمی توانند مشتمل بر بینهایت نقطه باشند، اما خط های جهان غیرفیزیکی نقطه هایشان همچون مثال های فوق بینهایت است.

عقل سلیم حکم می کند که فکر کنیم اگرچه تعداد نقاط موجود بر روی یک خط یک سانتی و یک خط یک متری هر دو بینهایت است اما بنظر می آید که بینهایت نقطه ی خط یک متری از بینهایت نقطه ی خط یک سانتی بزرگتر باشد و این یعنی اینکه بینهایت برخلاف آنچه که در ظاهر بنظر می رسد یک مفهوم کیفی غیرقابل شمارش نیست، بلکه یک مفهوم کمی شمردنی است و دوباره این یعنی اینکه برخی بینهایت ها از برخی دیگر بزرگترند و بالعکس.

کانتور در اواخر قرن نوزدهم، حسابی برای محاسبه ی بینهایت ها به دست آورد و بتوسط نظریه ی مجموعه ها آن ها را توضیح داد: حساب بینهایت ها از خلال اعداد Transfinite (ترا-نهایت)، اعدادی که اولینشان (الف-صفر) از هر بینهایت دیگری بزرگتر است! اما این حساب ایراداتی دارد. مثلا بر این باور است که بین دو بینهایت صفر و یک، هیچ بینهایت دیگری نیست، و این مسئله به فرض پیوستار کانتور معروف است. یعنی اگرچه بینهایت اول (مثلا اعداد طبیعی) از بینهایت دوم (مجموعه ی اعداد رئال / حقیقی) کوچکتر است، اما دیگر بینهایتی در بین آن ها موجود نیست.

به زبان دیگر (به زبان هندسی و بدوی) خط ها یا یک سانتی هستند و یا یک متری و دیگر اندازه ای بین آن ها قابل تصور نیست و این باز به کت آدمی فرو نمی رود. فرض پیوستار کانتور، یکی از مهمترین (اگر نخواهیم بگوییم که مهمترین) پرسش پیش رو بشر است و این فرض به زبان ساده یعنی: بر روی یک خط واقعا چند نقطه وجود دارد؟ (و حتی ساده تر اینکه) جهان شمردنی است یا اندازه گرفتنی؟! آیا جهان گسستاری است (رویکرد ذره ای / تعداد محدودی نقطه)؟! و یا اینکه پیوستاری است (رویکرد غیرذره ای / تعداد نامحدودی نقطه)؟!

من با فرض پیوستار کانتور موافقم، البته در عالم عینی. من بر این باورم که تعداد نقاط موجود بر روی خط های فیزیکی، تعداد نقاط محدودی است، اگرچه در عالم غیرفیزیکی لزومی ندارد که با این فرض موافق بود. تکلیف جهان در عالم جسم با تکلیف آن در عالم ذهن متفاوت است. شاید جهان ذهن کانتوری نباشد اما جهان جسم کانتوری است.

بنظرم همانطور که فیزیک نسبیت می کوشید که علم فیزیک را به هندسه ی تجربی فروبکاهد، فیزیک کوانتومی نیز می بایست کوشیده تا علم فیزیک را به یک نظریه ی مجموعه های گسستاری و واحد-واحدی (نظریه ی مجموعه های تجربی) تقلیل دهد. حتی اگر نخواهیم به ذرات نیز باور داشته باشیم، در نظریه ی رشته ها با رشته هایی با طول معین سر و کار داریم و این یعنی دوباره تعداد محدودی نقطه.

اگرچه اسم فرض پیوستار کانتور غلط انداز است، اما این فرض حقیقتا فرض کردن دنیا بشکلی گسستاری است و من با این مسئله موافقم.

20 دیدگاه برای “فرض پیوستار (یا گسستار) کانتور (۰۱۱-۰۰۳)

  1. درود
    ۹ خط از آخر را مجددا ملاحظه می فرمایید ؟! در عالم عینی با فرض پیوستار ؟؟؟؟؟؟

    1. درود بر شما…
      همانطور که در نوشتار اشاره شد، نام فرض پیوستار کانتور غلط انداز است. منظور از واژه ی پیوستار در فرض ایشان، همانا مجموعه ی اعداد حقیقی می باشد. اگر بخواهیم این فرض را بپذیریم و نهایتا آن را اثبات کنیم، نتیجه ی اثبات از منظر فیزیکی این خواهد بود که جهان گسستاری است یعنی اینکه بینهایتی بین بینهایت اول و دوم وجود ندارد و این دلالت بر نوعی گسستار در عالم عینی می کند. از این رو بود که بنده پیشنهاد کردم که بجای لفظ پیوستار از گسستار در یک گفتمان منطقی – فلسفی استفاده شود تا خلط مبحث نگردد.
      با سپاس از نکته سنجی شما همکار گرامی…

  2. با سلام
    سایت خوبیه از نظر علمی، تا حدودی آکادمیک نیست اما؛
    تبریک

    انسان جهان را در دو بعد می‌بیند، بعد کثرت و بعد وحدت. اگر در سطح خودآگاه متوجه این مطلب نباشد، در ناخودآگاه این داستان کارکرد خود را دارد و در زبان متجلی است.

    دیده‌ی کثرت بین نقاط را می‌بیند و دیده‌ی وحدت بین خطوط را و در مراحل بالاتر اشکال را و در مراحل خیلی بالاتر هیولا را و در مراحل نزدیک به خط پایانی که همواره قبل از رسیدن، به جلو برده می‌شود در حرکت جوهری، خود وجود را، البته با کمی تحریف به لحاظ اینکه بالاخره انسان است و واجب الوجود نیست.

    در ایضاح، فی‌المثال، یک دقیقه دندان‌درد شدید با نیم ساعت دندان‌درد شدید در ادراک تفاوتی ندارد؛ هر دو شدید است و اگر بی‌نهایت باشد، هر دو بی‌نهایت است و در این مطلب اسرار زیادی نهفته است که همگی ذیل فلسفه‌ی وجود حل می‌شود.

    موفقیت شما را در علم از خدا خواستارم

    1. درود!
      نخست، ممنون از تبریکات شما!
      سپس، محض اطلاع جنابعالی، هدف من از راه اندازی این وب سایت، فراهم آوردن یک پایگاه داده برای جمع آوری مقالات آکادمیک نبوده است چه این دست جمع آوری ها کمترین جذابیتی برای بنده ندارند… هدف بنده از راه اندازی این وب سایت بوضوح و بسادگی تمام در پیوند زیر توضیح داده شده است:
      http://www.daydaad.com/?page_id=20
      در رابطه با فرمایشاتی که در این دیدگاه مطرح فرموده اید، بیان اجمالی موارد ذیل را ضروری می دانم:
      یک) نوشته های جنابعالی کمترین قرابتی با مفاد نوشتار مزبور ندارند. بهتر بود که حرف های دلتان را با ایمیل برای من ارسال می کردید و یا اینکه آن ها را در نوشتار مرتبط تری می گنجاندید.
      دو) بهتر است که در گزینش واژگان خود دقت بیشتری داشته باشید. وقتی در یک گفتمان علمی از واژه ی بُعد استفاده می شود، معنایی که از آن در نزد مخاطب مستفاد می گردد، بعد ریاضیاتی – فیزیکی است. ضمنا به اطلاع شما می رسانم که از منظر تکاملی، گونه ی آدمی در ۳ بعد (دیمانسیون) جهان را تجربه می کند که در ریاضیات آن ها را با محورهای اکس، وای و زد نشان می دهیم.
      سه) از منظر فلسفی، حرکت ذهن در راستای کثرت و وحدت مسئله ای مرتبط با عقل محض (ذهن از-پیشی / ذهن A Priori) بوده و کمترین ارتباطی به مقوله ی ناخودآگاه که یک مسئله ی روانشناختی است، ندارد. تحقیق بیشتر در این باره را به خود شما محول می کنم. لطفا به بخش “ایرادات هیوم به جریان فلسفی و آراء کانت در پاسخ به آن ها” در مدخل فلسفه ی غرب دانشنامه ی بریتانیکا رجوع کنید.
      چهار) درباره ی تز پیشنهادی شما که اندیشه ی عرفی در این مسئله بوده ( نقطه کثرت است و خط، وحدت) و ارتباطی با تز پیشنهاده در متن ندارد، باید اضافه کنم که در این نظریه (ریاضیات طبیعی) رابطه ی نقطه و خط رابطه ی جزء و کل نبوده و احتمالا شما پاسخ خود را در سایر نوشتارهای اینجانب بشرط خوانشی دقیق تر پیدا خواهید کرد.
      پنج) مثال دندان درد که عملا مثالی بدون هرگونه اساس علمی است دوباره ربطی به مسئله ی نوشتار بنده ندارد، هرچند از نظر علمی ما کاملا می توانیم تفاوت این دو درد را مشخص کنیم. هر انسان عامی نیز بین دندان درد یک دقیقه ای و دندان درد نیم ساعته، شق اول را انتخاب خواهد کرد و این مسئله حاکی از تفاوت بین این دو است. صد البته که در مثل مناقشه نیست، اما آیین تمثیل آوری می طلبد که تمثیل ها ناصواب نبوده و در راستای فهم بهتر مسئله باشند نه اینکه مخاطب را بیشتر به مغاک سوءتفاهم و پیچش افکار سوق دهند.
      شش) از واژه ی اسرار در گفتمان های علمی استفاده نمی شود و بیشتر یادآور غزل های عارفانه است. ما در علم با واژه ی تبیین سر و کار داشته و به دنبال پیدا کردن پاسخ ها برای پرسش هایی هستیم که خودمان برحسب ضرورت پرسیده و خودمان نیز آن ها را بزودی تبیین می کنیم (پاسخ می دهیم).
      هفت) عبارت “فلسفه ی وجود” که معادل واژه ی آنتولوژی است، یک عبارت کلی بوده و بیان آن دردی از مسئله دوا نمی کند. آنتولوژی حوزه ای از دانش فلسفه (شاخه ی متافیزیک) بوده و اشاره به نام آن دال بر حل مسئله نمی باشد. این مثل این می ماند که در راه محاسبه ی نیرو، نیوتن بجای آوردن علم مکانیک خود بگوید: “نیرو در حوزه ی فلسفه ی طبیعی حل می شود”!!! اینکه چه مسئله ای در چه حوزه ای طبقه بندی می شود، پاسخی در راستای حل آن مسئله قلمداد نمی گردد. اینکه بگوئیم پاسخ واکسن ایدز در حوزه ی میکروبیولوژی پزشکینه داده خواهد شد، واکسن را در کف دست ما قرار نمی دهد. رسیدن به چنین پاسخی نیازمند راه اندازی یک تحقیق دانش بنیان بوده که من نیز در اینجا به دنبال همین مهم هستم.
      و سرآخر اینکه، پاسخ به پرسش های علمی پیش رو بشر دقت بیشتری می طلبد که بنده خواهانم شما را به آن قسم از تفکر << بجای کلی گویی های بدیهی >> دعوت کنم.
      ضمن سپاسگزاری دوباره، منتظر سایر نظرات “اولا مرتبط و ثانیا دقیق” شما خواهم ماند…
      و دگر پایان!
      دی داد

    2. حامد عزیز، متاسفانه من ارتباطی بین مطالبی که شما بیان کردید و موضوع این مقاله متوجه نمی شوم. فکر نمی کنم شما از دید علمی، این موضوع را بررسی کرده باشید.

  3. ممنون، خوبیه مقالات آکادمیک اینه که چهارچوب نظری داره و از استدلالات همون حوزه استفاده میشه کرد درش.
    حرف دل یعنی گفتار غیرآکادمیک که من هم همان کردم. سنخیت با موضوع دارد و شاید کمی با محتوی ناهماهنگ باشد و یا غریب باشد در فضای علمی موجود و شاید هم نوعی پریشنس باشد.
    دوست عزیز، پروپوزال دکتری حقیر در چهارچوب شناختگرایی تالمی و لانگاکر بوده است و نیز پایان‌نامه‌ی ارشدم، و از منظر این دو استاد در غرب و بسیاری در شرق، تجربه‌ی جهان را بدون بعد زمان ناممکن میداند.
    ضمناً شما از جهان‌های ممکن صحبت به میان آوردین، یعنی خط در جهان عینی و ذهنی، این مطلب از دیدگاه جهان‌های ممکن لایبنیتز اگر متناظر با خط و نقطه آن را در نظر بگیریم، یعنی تبدیل کمیت قابل شمارش (گسستاری) به کمیت غیرقابل شمارش (پیوستاری) در حالت امکان. این یعنی تشکیک در ماهیت. وقتی در ماهیت تشکیک وارد شود، و برای آن شدت و حدت حادث شود، همگی شادها و حادها در یک حوزه (حوزه‌ی خودشان) طبقه بندی می‌شوند.
    در جهان عینی، در فیزیک، تبدیل نقطه به خط از نقطه‌ای آغاز می‌شود که تا قبل از آن نقطه محسوب می‌شود و بعد از آن خط. این گذار به لحاظ نداشتن مرز، نوعی تشکیک دارد.
    در مکتب شناخت‌گرایی، عقل محض تمام دستآوردهایش را از طریق تمام انواع تجربه شامل حسی و حرکتی و فراحسی به دست می‌آورد و ناخودآگاه که واضع آن در روانکاوی فروید بوده است متاثر از آنالیزهای همین عقل است.
    استادی امریکایی به نام گرینسپن در دی آی آر که علمی جدید است این موارد را به تفصیل بیان نموده است. حیف که ایشان چند سال پیش فوت کردند.(Greenspan- DIR)
    این کار را خواهم کرد.
    لطفاً خط را با استفاده از نقطه باز-تعریف کنید.
    انتخاب دردی که از لحاظ زمانی کوتاه‌تر است در ماهیت آن درد تشکیک وارد نمی‌کند. به بیان دیگر، «تمایز» «تفاوت» ایجاد نمی‌کند.
    سرّ خود در پیوستار وجود است. (ر.ک. یازده رساله فارسی فلسفی منطقی عرفانی. ….. ….. ….. رساله‌ی اول)
    اینکه بدانیم یک مسأله در کدام حوزه حل می‌شود خود قسمتی از راه حل است. آنتولوژی فرگه و دیگران با فلسفه‌ی وجود و اصالت وجود از دیدگاه ما تفاوتی ماهوی دارد. ما وجود را صمد می‌دانیم.
    در قوس نزول و صعود، کثرت و وحدت واقعی هستند و در جهان مادی نماد‌دار شده‌اند. به عبارتی بسیار تنزل یافته، نقطه از خط جدا شده و دوباره به خط بر می‌گردد. شمارش‌پذیری نقطه حاصل انقطاع از خط است.
    ایجاد تناظر مابین اجزاء جهان هستی و مجموعه‌ی اعداد حقیقی ناظر به همین است. جذر ۲ در جهان واقع وجود دارد. همین که شما عدد پی را می‌توانید ادامه دهید نشان از همین مطلب است. جذر ۲ را می‌توان متناظر ساخت بر نقطه‌ای بر روی «خط» محور اعداد حقیقی اما در نمادهای ریاضی می‌توان آن را ادامه داد.
    خطی که ما آن را دو سانتی‌متر می‌بینیم، آری محدود است، ولی بر روی همین خط جذر ۲ را نشان می‌دهیم. این نشان‌دهنده‌ی وجود یک فیلتر در انسان است که با حقیقت فاصله دارد و این را عینیت‌گرایی (objectivism) لحاظ نمی‌کند و سودی نمی‌بخشد.
    ممنون از توجه و سعه‌ی صدرتان

    1. ممنون بابت وقتی که در دفاع از اشتباهات خود صرف می کنید، اما پاسخ شما پیشاپیش در پیوند زیر داده شده است:

      http://www.daydaad.com/?p=561

      مطلب کوتاهی است، لطفا حداقل این یکی را با دقت بخوانید…

      1. با سلام
        اگر مصداق متعین هم مباحثه‌ی مذکور در پیوند فوق‌الذکر باشم بسی جای امید است. حقیر به مدت یکسال دروس هیأت و ریاضی بطلمیوسی را در محضر مجلدات ….. ….. غور می‌کردم و دیدگاه ما دو با هم نه تنها متفاوت است بلکه به‌علاوه نیک دریافتم همان نادانی هستم که به دنبال بحثم.

  4. با سلام. من با این نظر مخالفم.به نظر من بینهایت یعنی غیر قابل شمارش.وقتی می گوییم تعداد نقاط بر روی خطی بینهایت است یعنی هر تعدادی که نقطه بر روی خط مشخص کنیم باز هم تعداد بیشتری نقطه باقی می ماند .بر روی خط هایی به طول یک متر و یک سانتی متر بینهایت نقطه وجود دارد ولی این به معنا که تعداد نقاط واقع بر خط یک متری بیشتر از یک سانتی متری باشد نیست بلکه به این معناست که تعداد نقاط روی این دو خط قابل شمارش نیستن.ح

    1. با پیش فرض های ریاضیات کلاسیک، فرمایش شما متین است. بینهایت یعنی غیرقابل شمارش و این یک مسئله ی بدیهی است.
      در این نظریه (ریاضیات تجربی) تلاش من این است نشان دهم که چیزی تحت عنوان بینهایت و یا بصلاحدید شما ناشماریت، غیرقابل شمارش بودگی و یا هر توصیف همانگویانه ی دیگری وجود ندارد.
      به سایر نوشتارهای همین دفتر در پیوند زیر مراجعه کنید:
      http://www.daydaad.com/?page_id=386
      با سپاس…

  5. درود برهمه دوستان. در عالم ریاضی وذهن ما میتوانیم فاصله بین دو بازه زمانی را به بی نهایت واحد تقسیم کنیم وهیچ گاه از t1 بهt2 نمیرسیم اما درجهان واقعی ما نه تنها بازه های زمانی را بصورت جهشی وگسسته طی میکنیم بلکه فاصله های مکانی را هم بصورت جهشی طی میکنیم واز نقطه A در فضا به نقطه B میرسیم.به نظر من این واقعیت گویای این است که کل کیهان از فضا زمان گرفته تا جرم وانرژی از قطعات بنیادیتری ساخته شده اند که اندازه آنها مشخص است و نمیتوان آنها را به قطعات کوچکتر تقسیم کرد به همین دلیل است که ما به طوری قطعی وپرشی فواصل زمانی ومکانی راطی میکنیم. از طرفی فضا زمان باید بنیادی تر از جرم وانرژی باشد وبه نظر من جرم وانرژی مفاهیم وپدیده هایی غیر واقعی و نمودهایی از فضا زمان هستند. مثل تصاویری که روی صفحه ال سی دی میبینیم. کل تصاویر و تصور حرکت که ما روی صفحه ال سی دی میبینیم فرعی هستند واز پدیده ای بنیادی تر بنام پیکسلهای ال سی دی بوجود می آیند. فضا زمان نیز باید پیکسلی باشد.

  6. با درود،

    فقط میخوام خیلی ساده یک مثال بزنم که خودش به نوعی صحت عدم وجود چیزی به اسم بی نهایت رو نشون میده اون هم ثابت پلانک هست. اگر قرار بود با چیزی به اسم بی نهایت بشه مسئله تابش black body همون موقع باید توی آزمایش انجام شده نتیجه میداد و دیگه نیاز نبود آقای Max Plank این همه زحمت بشکه.

  7. چند نکته به نظر من رسید که باید عرض کنم
    اول اینکه ریاضیات یا هر علم دیگری ریشه در طبیعت دارد همان عالم مثل افلاطون هم ریشه در تجربه ی ما در برخورد با طبیعت دارد. اما من از درک ریاضیدانانی که میکوشند که هرقدر بیشتر رابطه ی ریاضیات با طبیعت را انکار کنند عاجزم، جالب اینجاست که همیشه فیزیکدانان ،در این امر، ریاضیدانان را ناامید کرده اند حال بخواهد صد سال طول بکشد(مثل نسبیت عام) یا ده سال طول بکشد (مثل نظریه ی چرن-سیمونز که ویتن در ابر ریسمان از آن استفاده کرد) . ریاضیدانان در طول تکوین نظریه ی گروه ها فکر میکردند به ساختاری چنان pure دست یافتند که به هیچ وجه کاربردی در طبیعت ندارد اما ویگنر نشان داد که انگار نظریه ی گروه ساخته شده برای فیزیک.
    این مثال ها و مثال های بیشمار دیگر نشان دهنده ی این است که اگر یک تئوری ریاضی درست باشد حتما منشا ای در طبیعت خواهد داشت و اساسا ریاضیات از طبیعت برخاسته. اگر ریاضیدانان کمی در کارهای خود از طبیعت نیز استفاده کنند پاسخ های خوبی خواهند گرفت. مثلا در باب بینهایت میتوان از “کوانتومی بودن” استفاده کرد. البته نمیتوان منکر این مساله هم شد که پای خیال ریاضیدان (و فیزیکدان و …) را نبایستی بست.
    در مورد زنجیره های بینهایت ها هم اساسن میتوان از کوانتومی بودن بهره برد. لی اسمولین و کارلو روولی نشان دادند که در قالب loop quantum gravity (که فضا زمان را کوانتومی در نظر میگیرد اساسا برای حجم و سطح و خط طیفی کوانتومی قایل است) میتوان با وجود کوانتومی بودن زمینه به “پیوستگی(continuum)” برسیم ، پس به تعبیری چگال بودن محور اعداد یک پدیده ی برآمده است ولی کنه ماجرا چیز دیگریست. البته بنده در جرگه ی فیزیک پویانم و نمیدانم که اساسن چنین فرضی میتواند راه گشا باشد یا نه.
    از طرفی در مورد پارادوکس باناخ-تاروسکی میدانیم که یا فرض پیوستار غلط است یا اصل انتخاب و برای ذهن آدمی اصل انتخاب قابل قبول تر است.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *