فرض گسستار دی داد (۰۷۵-۰۰۳)

(Daydaad Discreteness Hypothesis – DDH)

کارهای گودل در دهه ی چهل و کارهای کوهن در دهه ی شصت نشان داده اند که بر بستر ریاضیات امروز بویژه سیستم آکسیوماتیک نظریه ی مجموعه ها (مثلا ZFC) نه می توان فرض پیوستار کانتور را اثبات کرد و نه می توان آن را ابطال نمود. این مسئله نشان می دهد که در ساحت ریاضیات مدرن، فرض پیوستار کانتور و پرسش موجود در آن، مسائلی بلاموضوع هستند.

در اینجا دو رویکرد می توان اقتباس کرد. اول اینکه تلاش کنیم مجموعه ی آکسیوماتیک موجود را بشکل حداقلی از غل و غش ها پالوده و در همان بستر این فرض را اثبات و یا ابطال کنیم و دوم اینکه این فرض و پرسش منتسب با آن را از اساس بلاموضوع دانسته و اساس ریاضیات را به گونه ای تغییر دهیم که این پرسش اصلا شکل نگیرد (در این نوشتار نگارنده ملاحظات متدیک داشته و کمتر از منظر ریاضیاتی به مسئله نگاه می کند). من خود شخصا با رویکرد دوم موافقم، پس اگر ما بپذیریم که بینهایتی وجود ندارد، این پرسش فی الفور رنگ می بازد.

این پرسش محصول پذیرشِ “وجودی بالفعل” برای بینهایت است. من نه تنها به وجود بالفعل بینهایت وقعی نمی نهم، بلکه وجود بالقوه ی آن را هم بر نمی تابم. به زعم من بینهایت از آن حیث که بینهایت است، موجودیتی موهومی است و حضور چنین آفتی شایسته ی ریاضیات نیست. من همچنین دلیلی برای اثبات عدم وجود بینهایت نمی بینم، زیرا بر این باورم که این بینهایت باوران هستند که می بایست وجود چنین افسانه ای را اثبات کنند. من صرفا با وجود این انگاره مخالفم، همین و بس.

به بیان دقیق تر مادامیکه بینهایت باوران از ارایه ی برهان (قضیه) جامعی در این باره کوتاهی می کنند، به راحتی می توان از پذیرش آن سر باز زد. وجود بینهایت در بدنه ی ریاضیات با نوعی پذیرش بی دلیل و مدرک (عقیدتی) همراه است و بر همین اساس می توان وجود “نهایت” را نیز بشکل درست قلمداد کرد و مادامیکه این پذیرش در تضاد با سایر جنبه های این معرفت بشری نباشد، حرکتی درست است.

برخی های دیگر بر این باورند که پذیرش و یا رد بینهایت تاثیری در حصول قضایای ریاضیاتی ندارد و با جایگزین کردن هر یک از آن ها بجای هم (نهایت بجای بینهایت و بالعکس) می توان به نتایج یکسانی رسید: “رنگ ماشین بیل زن ربطی به بیل زدنِ آن ندارد. چه آبی، چه قرمز… فقط بیل زدن مهم است!!!” من با این رویکرد نیز مخالفم زیرا نقش ریاضیات را خیلی فراتر از ماشینی قضیه ساز می دانم. ریاضیات آن سرزمینی است که نهایتا کاخ نظریه ی واحد در آن بنا خواهد شد و چنین سرزمینی می بایست از هر گونه حالت فانتزی، ابزاری و مُثُلی مبری باشد.

اگرچه شاید درست فرض کردن مفهوم بینهایت (و یا بجای آن “نهایت”) تاثیری در کل مسئله ایجاد نمی کند اما رویکردی صحیح تر خواهد بود که عرصه را برای تحویل فیزیک به ریاضیات باز کند (رجوع شود به نوشته های پیشین در رابطه نسبیت عام که در آن فیزیک به هندسه ی تجربی فروکاهیده می شود). من با عنایت به مطالب فوق قصد دارم تا بجای پرسش فرض پیوستار کانتور از پرسش “فرض گسستار دی داد”  سخن به میان آورم. این فرض بیان می دارد که مابین دو نقطه، تعداد محدودی نقطه وجود دارد و این تعداد نمی تواند از اندازه ی نهایت بزرگتر باشد.

این مسئله می بایست در صدر فعالیت های ریاضیاتی بشر برای اثبات قرار گیرد. در “نظریه ی ریاضیات تجربی” که کاندیدایی برای نظریه ی همه چیز است، من شخصا تلاش هایی در این زمینه داشته ام، اما این همچنین رسالت سایر دوستان ریاضیدان و فیزیکدان من است که در راه تحقق این ایده ی بزرگ گام هایی بردارند. این رویکرد اگرچه با ریاضیات گسسته تفاوت هایی دارد اما شاید شبیه ترین ایده در ریاضیات کنونی به نظریه ی من “هندسه ی ریمانی گسسته” باشد.

5 دیدگاه برای “فرض گسستار دی داد (۰۷۵-۰۰۳)

  1. با سلام
    نوشته جالبی است. نوشته اید: “به زعم من بینهایت از آن حیث که بینهایت است، موجودیتی موهومی است و حضور چنین آفتی شایسته ی ریاضیات نیست.”
    به نظر من موهومی یک نامگذاری است که اشاره به فراتر از درک عادی انسان بودن دارد، پس چرا آنرا آفت فرض کنید؟ آیا ما باید خود و فهم خود را اصالت بدهیم یا قوانین جهان واقع را؟ نماد i یا j که بجای جذر ۱- استفاده می شود هم پایه اعداد مختلط و بخض موهومی آن است ولی به مفهوم کم ارزش بودن آن نیست و آن هم به فراتر از ادراک معمول آدمیان می رود.

    1. درود!
      آنچه که در باب شناخت اهمیت دارد، “جهان-برای-آدمی” است و نه “جهان-در-خود”… پس اینکه جهان در خود چگونه است برای ما اهمیت شناختی ندارد و اصالت با کیفیات شناخت ماست و برای آدمی چیزی فراتر از این صحن و سرا وجود ندارد.
      صفت موهومی که من آن را برای شبه-مفهوم “بینهایت” استفاده کردم با آن صفت موهومی که برای دیگر چیزها در عالَم ریاضیات استفاده می کنیم، توفیر دارد… شما می توانید بجای واژه ی موهومی بکار رفته بتوسط من از واژه ی “جفنگ” بهره بگیرید تا خلط مبحث رنگ بازد: بینهایت جفنگ است.
      جذر منفی یک در اثر درک نادرست ما از اعداد زاییده شده است و شایسته است که با نظریه ی ریاضیات طبیعی به دست فراموشی سپرده شود… این مسئله شاید بعلت مخالفت من با ویتگنشتاین است زیرا که وی معناداری را در گرو کاربرد صِرف می داند، اما من نه… کاربرد اگرچه شرط لازم معناداری است، اما کافی نیست. یک گزاره به صرف کاربردی بودن حقیقت پیدا نمی کند زیرا که دروغ ها نیز بعضا کاربردهایی دارند…
      سپاس بابت وقتی که می گذارید…

      1. البته با کنار گذاشتن اعداد کمپلکس ، بخش اعظمی از ریاضیات و بخش مهمی از فیزیک دچار مشکل میشود
        البته دیدگاه من نسبت به اعداد کمپلکس “زاییده ی درک نادرست” یا چیز هایی از این دست نیست. چرا که من به عنوان یک فیزیک پیشه اصالت را با طبیعت میدانم و اگر بخواهم دقیقتر بگویم اصالت را با درک ما(ذهن ما) از طبیعت میدانم. جذر منفی یک نیز زاده ی توصیف ما از طبیعت است و ریشه در الکترومغناطیس و کارهای گاوس دارد. البته بحث مشاهده پذیری و اینکه فیزیک باید بر مبنای مشاهده پذیر ها گسترش یابد چیزیست که حتی کسانی که این داعیه را داشتند (همچون هایزنبرگ) نیز به آن وفادار نماندند.
        اما در کورد فرضیه گسستار شما نیز باید گفت که هر فیزیکدانی آرزوی تحقق یک “حساب دیفرانسیل و انتگرال گسسته” است .

  2. ما در ریاضیات بی نهایت نداریم بلکه میل کردن به سمت بی نهایت را داریم. باید این دو مقوله را از هم جدا کرد.

  3. جذر منفی یک در ریاضیات موهوم و وهم (imaginary part) است. ما اگر جذر منفی یک را به توان دو برسانیم به عدد منفی یک ( که واقعیت است ) میرسیم. این نشان میدهد که میتوان از عدم به وجود رسید و بالعکس ( از وجود به عدم رسید یعنی جذر منفی یک میشود موهوم). از آنجا که گزاره ما دو طرفه است می توان نتیجه گرفت که عدم و وجود در ذات یکسانند و از هم جدا نیستند.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *