وحشت بینهایت (هورور اینفینیتی) (۰۳۵-۰۰۸)

توبیاس دانتسیگ در کتاب “عدد، زبان علم” بیان می دارد که: “کشتی امید ریاضیات برای به دست دادن تعریفی دقیق از عدد بر صخره ی بینهایت است که در هم می شکند. بینهایت این امید را هم در حساب و هم در جبر ناامید ساخته است.” با عنایت به این مسئله و سایر بیانات ایشان در این کتاب است که من بیش از هر زمان دیگری بر این باور استوار گشته ام که بینهایت می بایست از ریاضیات حذف گردد زیرا با وجود آن اساس ریاضیات تماما نقشی بر آب است.

دانتسیگ همچنین در جای دیگری از این کتاب بیان می کند که: “مفهوم بینهایت نه مفهومی منطقی است و نه مفهومی تجربی. برعکس تمامی شواهد منطقی و تجربی علیه آن هستند، اما همچنان حذف آن از بدنه ی ریاضیات امکان ناپذیر می نماید زیرا بدون آن هر دو مفهوم امکان و معناداری در ریاضیات زیر سوال می روند.” من با قسمت اول گفته های این دانشمند بزرگ موافقم اما با قسمت دوم خیر زیرا بر این باور هستم که می توان راه برون رفتی از این مسئله پیدا کرد. من در اینجا از مثالِ خود کتاب بهره گرفته و آن را بسط خواهم داد.

پیش از هر چیزی لازم به ذکر است که اگر ما بخواهیم دیگر به مفهوم بینهایت در ریاضیات وقعی ننهیم، می بایست که آن را با مفهوم نهایت جایگزین کنیم و این مفهوم یعنی قرارداد کردن عددی بعنوان عدد آخر. به دو روش می توان عددی را به مثابه عدد آخر گزینش کرد. یک) انتخاب تصادفی یک عدد بزرگ، دو) انتخاب ضابطه مند یک عدد بزرگ. در روش اول ما صرفا یک عدد بزرگ را بعنوان عدد آخر گزینش کرده و لزومی ندارد که برای این گزینش ضابطه ای ارایه کنیم.

در روش دوم که بیشتر باب میل من بوده و آن را در نظریه ی ریاضیات طبیعی خود پیشنهاد کرده ام، می بایست که ضابطه ای معنادار برای انتخاب این عدد معرفی نمائیم، اما از آنجاییکه قرار است در این نوشتار صرفا به حذف مفهوم بینهایت بپردازیم، لزومی نمی بینم که به توضیح دوباره ی آن پرداخته و به همان روش اول اکتفا می کنم. فرض کنید که ما عدد یک میلیون را بعنوان عدد آخر برگزینیم. در این حالت در حوزه ی حساب جمع دو عدد ۵۰۰٫۰۰۰ و ۵۰۰٫۰۰۱ ناممکن خواهد بود زیرا که خروجی آن چیزی بالاتر از عدد آخر است.

در این مثال خاص، خروجی ناممکن و فرآیند تجمیع بر این اعداد فرآیندی بی معناست. این ناممکن بودگی توامان با آن بی معنابودگیِ عملیات هستند که سبب می شوند نخواهیم عددی را بعنوان عدد آخر انتخاب کنیم. در حوزه ی هندسه دانتسیگ همچنین در جایی دیگر گفته است که اگر بخواهیم خود را به صفحه ای تحدید شده محدود کنیم آنگاه هیچ دو خطی با هم ماورای تحدید مزبور شانس ساختن زاویه نداشته و یا اینکه ماورای این حدود هیچ سه خطی با هم یک مثلث را تشکیل نمی دهند.

برای رفع این شبهه اول لازم است که مسئله را به زبان ساده تر بیان کنم. مثلثی متساوی الاضلاع را فرض کنید که یک راس آن در مبدا بوده و یکی از اضلاع آن بر روی محور x منطبق باشد. راس دیگر بر روی نقطه ای با مختصات (۰ و ۱٫۰۰۰٫۰۰۰) خواهد بود.

راس سوم که عملا راس شمالی مثلث مربوطه است نیز در مختصات (۵۰۰٫۰۰۰ و ۵۰۰٫۰۰۰) قرار خواهد گرفت. این مثلث در این جهان ریاضیاتی مفروض و محدود عملا حدود دنیای ما را مشخص می کند. حال فرض کنید که ما ۳ خط از درون این مثلث رد کنیم به قسمی که جایی ماورای این حدود همدیگر را قطع کرده و متعاقبا مثلثی دیگر را تشکیل دهند. مثلث نامنتظم دومی عملا در جایی ماورای این دنیای تحدید شده شکل می گیرد. پس آنچه عملا در دنیایی با ابعاد سترگ تر یک مثلث است، در این دنیای تحدید شده چیزی جز سه خط بی ربط نیست.

این اِشکالی است که می توان بر این قسم ریاضی وارد کرد. اشکالی که بیان می دارد هرگونه محدودیتی بر جهان ریاضیاتی سبب ساز این خواهد شد که حقایق چیزها ناقص ادراک شده و ما به تصویری کلی نایل نیائیم. من این مسئله را قبول دارم اما به این شرط که حدود تعریف شده، حدود کوچکی باشند. عدد یک میلیون، عدد بسیار کوچکی است و قاعدتا نمی تواند کاندیدای خوبی برای عدد آخر باشد.

در طبیعت، موجودات زنده که عملا زندگی را چونان فونکسیونالیته ی خود در کارنامه ی خویش دارند از حدی کوچکتر و یا از حدی بزرگتر نخواهند بود. هیچ موجود زنده ای نمی تواند به اندازه ی کره ی ماه بزرگ بوده و یا به اندازه ی یک اتم کوچک باشد. عدد آخر نیز می بایست از این مسئله تبعیت کند. این عدد نمی تواند از حدی کوچکتر و یا بزرگتر باشد و این رسالت نظریه ی ماست که نشان دهد این عدد در چه بازه ای واقع شده و حتی اینکه دقیقا چه اندازه است.

اگر عدد آخر بعنوان عددی بسیار بزرگ در نظر گرفته شود، عملا مقولات ناممکن بودگی و یا بی معنایی های فوق الذکر همگی رنگ باخته و چیزی ماورای حدود تجربی جهان می گردند. من خود شخصا بر این باورم که ناممکنیتِ ماورای حدود تجربی جهان مسئله ی ذاتا سازنده ایست. این یعنی اینکه بی معنا بودن عددی بالاتر از عدد آخر مقوله ی پسندیده ایست و یا اینکه ناممکنیت اپراسیون های حساب در این صحن و سرا عملا کمک کننده به جریان فکری بشر خواهد بود.

یکی از جملاتی را که دانتسیگ از قول یکی از حکمای یونانی به کرّات در این کتاب نقل کرده است، جمله ی نادرستی می دانم که عملا می توان با اصل نهایت پاسخ قابل قبولی برای آن پیدا نمود. این جمله بیان می دارد: “آنچه که یکبار انجام گرفته، همواره می تواند که دوباره انجام گیرد.” آن ها با این جمله حق داشتن مفهوم بینهایت را برای خود خریده و بدین ترتیب ادعا می دارند که مفهوم بینهایت وجودی برحق دارد.

آن ها همچنین در ذیل این مسئله ادعا دارند که مفهوم بینهایت باوری است که در ریاضیات می تواند معناآفرین و بتبع آن راهگشا باشد. این مسئله مرا به یاد مفهوم ایزد می اندازد. مفهومی که با عینک علم عملا دربردارند ی تمامی تناقض هاست اما عده ای بر این باورند که اعتقاد به آن سازنده بوده و می تواند برای زندگی معناساز باشد. این شباعت تصادفی نیست. زندگی صحن و سرای کیفیات است و ریاضیات نیز سرای کمیات. ایده ی بینهایت در هر دو این جهان ها بشکلی که ذاتی ذهن روان-اندود بشر است رخنه کرده و علیرغم فواید اندکش، فجایع بزرگی را رقم زده است.

اگر بخواهیم از خیر نزاع با این باورها در عالم کیفی بگذریم، شایسته نیست که این مسئله را در عالَم کمیات به همین منوال حل نشده باقی گذاریم. من راه برون رفتی از این مسئله پیدا کرده ام. ما به ازای مجموعه ای عدد آخر عملا همان مجموعه ی جهانی است. وقتی ما در نظریه ی مجموعه ها می پذیریم که چیزی چونان یک مجموعه ی جهانی U وجود دارد که همه ی مجموعه ها زیرمجموعه ی آن بوده و آن نیز زیرمجموعه ی مجموعه ی دیگری نیست، عملا در حال صحبت کردن در باب عدد آخر هستیم، صرف نظر از اینکه کاردینالیته ی این مجموعه چه باشد.

من قبلا بر اساس ضابطه ی پیدایش، عدد آخر را ۲۶۵۵۳۶ معرفی کرده و این عدد را کاردینالیته ی مجموعه ی جهانی یا همان بزرگترین مجموعه می دانم. اگر بخواهیم بپذیریم که یک بزرگترین مجموعه وجود دارد، آنگاه باید بپذیریم که یک عدد آخر نیز وجود دارد. عدد آخر عملا شرط لازمِ غایی وجود صفر است. در ضابطه ی پیدایش می گوئیم: “اگر صفر (شرط کافی)، آنگاه یک (شرط لازم)” این یعنی اینکه صفر شرط کافی پیدایش است: “اگر صفر، آنگاه یک”. اگر نبودن، آنگاه بودن. این مسئله نشان می دهد که چگونه پیدایش چیز از دل هیچ یک مقوله ی خودانگیخته است زیرا صفر برای بیرون کشیدن همه-چیز از دل هیچ-چیز (خودش) کافی است.

گویا که صفر خود، خودش را به یک مبدل می سازد و این مسئله با اساس منطق در سازگاری کامل است. اگر شرط کافی، آنگاه شرط لازم: اگر “هیچ-چیز”، آنگاه “همه-چیز”. پذیرش این مسئله می طلبد که ما بخواهیم نمودارهای وِن (مجموعه ای) اعداد را بصورت دوایری متحدالمرکز نشان دهیم بشکلی که هر دایره ی فرادستی (مثلا یک) نسبت به هر دایره ی فرودستی (مثلا صفر) نسبت عمومیت و خصوصیت مطلق داشته باشد. من خود شخصا حسابی را برای این نوع نگاه به اعداد ابداع کرده که در نوشتارهای بعدی بدآن خواهم پرداخت.

در این جا و در آخر کار ذکر این مسئله الزامی است که برای بخشیدن کیفیت حرکت به دنیای ریاضیاتی و ساختن یک مدل دینامیک، می طلبد که بخواهیم بینهایت را از اینجا بیرون کنیم. با بیرون کردن این مفهوم غلط، جهان ریاضیاتی رنگ و حالت جهان فیزیکی را به خود گرفته و عملا دچار حالتی پویا می گردد که می توان آن را در تناظر با جهان واقع قرار داد.

مضافا اینکه در رابطه با اعداد بین هر دو عدد می توان رابطه ی شرطی برقرار کرد (ایده ی شرطی سازی اعداد یا همان برقراری رابطه ی علی بین اعداد). این یعنی اینکه عدد صفر شرط کافی عدد یک و عدد یک نیز شرط لازم عدد صفر است {نکته: این نگاه شرطی به اعداد ناقض جهان مُثُلی افلاطون بوده که در آن اعداد مستقل از هم وجود دارند. در این نظریه من وجود اعداد را شرط وجود دیگر اعداد می دانم به استثنای صفر}. با این نگاه عدد آخر شرط لازم وجود سلسله ی اعداد است که صفر شرط کافی غایی آن می باشد. بدون عدد آخر جهان شرط لازم ندارد و این یعنی اینکه چنین جهانی شکل نخواهد گرفت.

عدد آخر و ما به ازای مجموعه ای آن عملا ظرفی است که در آن سلسله ی اعداد زاده می شود، سلسله ای که در آخرین مرحله ی خود، به خودِ این عدد خواهد رسید…

یک دیدگاه برای “وحشت بینهایت (هورور اینفینیتی) (۰۳۵-۰۰۸)

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.